Die Lehre von den Kettenbrüchen

I. Transformation von Kettenbrüchen..-
1. Rekapitulation.-
2. Null als Teilzähler. - Äquivalente Kettenbrüche.-
3. Kettenbrüche mit vorgegebenen Näherungsbrüchen.-
4. Kontraktion und Extension.-
5. Äquivalenz von Kettenbrüchen und Reihen.-
6. Äquivalenz von Kettenbrüchen und Produkten.-
7. Die Transformation von Bauer und Muir.-
8. Weitere Anwendungen. Haupformel von Ramanujan.- II. Kriterien für Konvergenz und Divergenz..-
9. Bedingte und unbedingte Konvergenz.-
10. Allgemeine Kriterien von Broman, Stern und Scott-Wall.-
11. Konvergenz bei positiven Elementen.-
12. Konvergenz bei reellen Elementen.-
13. Irrationalität gewisser Kettenbrüche.-
14. Die Konvergenzkriterien von Pringsheim.-
15. Die Konvergenzkriterien von van Vleck-Jensen und Hamburger-Mall-Wall.-
16. Anwendung: Geltungsbereich der Ramanujan-Formel.-
17. Einige neuere Kriterien. - Das Parabeltheorem.-
18. Periodische Kettenbrüche.-
19. Limitärperiodische Kettenbrüche.-
20. Die Gleichung% MathType!MTEF!2!1!+-% feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca% WG4bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaGcbaGaamiEamaaBaaaleaacaaI% XaaabeaaaaGccqGH9aqpcaWGIbWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaey% 4kaSYaaSaaaeaadaabcaqaaiaadggadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaaa% kiaawIa7aaqaamaaeeaabaGaamOyamaaBaaaleaacaaIXaaabeaaaO% Gaay5bSdaaaiabgUcaRmaalaaabaWaaqGaaeaacaWGHbWaaSbaaSqa% aiaaikdaaeqaaaGccaGLiWoaaeaadaabbaqaaiaadkgadaWgaaWcba% GaaGOmaaqabaaakiaawEa7aaaacqGHRaWkcqWIVlctaaa!4F24!$$frac{{{x_0}}}{{{x_1}}} = {b_0} + frac{{left.{{a_1}} right|}}{{left| {{b_1}} right.}} + frac{{left. {{a_2}} right|}}{{left| {{b_2}} right.}} + cdots $$als Folge des Rekursionssystems % MathType!MTEF!2!1!+-% feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaBa% aaleaacaWG2baabeaakiabg2da9iaadkgadaWgaaWcbaGaamODaaqa% baGccaWG4bWaaSbaaSqaaiaadAhacqGHRaWkcaaIXaaabeaakiabgU% caRiaadggadaWgaaWcbaGaamODaiabgUcaRiaaigdaaeqaaOGaamiE% amaaBaaaleaacaWG2bGaey4kaSIaaGOmaaqabaaaaa!4763!$${x_v} = {b_v}{x_{v + 1}} + {a_{v + 1}}{x_{v + 2}}$$.- III. Verschiedene Zuordnungen von Potenzreihen zu Kettenbrüchen..-
21. Allgemeine C-Kettenbrüche.-
22. Quadratwurzeln.-
23. Regelmäßige C-Kettenbrüche.-
24. Die Kettenbrüche von Gauß, Heine und damit verwandte.-
25. Der assoziierte Kettenbruch.-
26. Zusammenhang zwischen dem korrespondierenden und assoziierten Kettenbruch. - Einige Transformationen des korrespondierenden Kettenbruches.-
27. Konvergenz und Divergenz.-
28. Konvergenz der Kettenbrüche von Gauß, Heine usw.-
29. Ein bemerkenswertes Divergenzphänomen.-
30. J-Kettenbrüche und ihre Anwendung auf Polynome, deren Wurzeln negative reelle Teile haben.-
31. Weitere Typen von Kettenbrüchen, denen man Potenzreihen zuordnen kann.- IV. Die Kettenbrüche von Stieltjes..-
32. Der Integralbegriff von Stieltjes.-
33. Der korrespondierende und assoziierte Kettenbruch eines Stieltjessehen Integrals.-
34. Der Satz von Markoff.-
35. Die Wurzeln der Näherungsnenner von G-, H- und S-Kettenbrüchen.-
36. Das Grommersche Auswahltheorem.-
37.Konvergenz und analytischer Charakter der S- und H-Kettenbrüche.-
38. Die vollständige Konvergenz der G-Kettenbrüche.-
39. Das Momentenproblem.- V. Die P adésehe Tafel..-
40. Begriff der Padéschen Tafel.-
41. Normale und anormale Tafel.-
42. Die Exponentialfunktion.-
43. Die Laguerresche Differentialgleichung.-
44. Die Kettenbrüche der Padéschen Tafel.-
45. Die Konvergenzfrage.- VI. Kettenbrüche, deren Elemente a, und b, rationale Funktionen von v sind..-
46. Die Konvergenz dieser Kettenbrüche.-
47. Zusammenhang mit Differentialgleichungen.-
48. Die Kettenbrüche mit dem allgemeinen Glied % MathType!MTEF!2!1!+-% feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaada% abcaqaaiaadggadaWgaaWcbaGaamODaaqabaaakiaawIa7aaqaamaa% eeaabaGaamOyamaaBaaaleaacaWG2baabeaaaOGaay5bSdaaaiabg2% da9maalaaabaWaaqGaaeaacaWGHbGaey4kaSIaamOyamaaBaaaleaa% caWG2baabeaaaOGaayjcSdaabaWaaqqaaeaacaWGJbGaey4kaSIaam% izamaaBaaaleaacaWG2baabeaaaOGaay5bSdaaaaaa!4961!$$frac{{left. {{a_v}} right|}}{{left| {{b_v}} right.}} = frac{{left. {a + {b_v}} right|}}{{left| {c + {d_v}} right.}}$$.-
49. Die Kettenbrüche mit dem allgemeinen Glied % MathType!MTEF!2!1!+-% feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaada% abcaqaaiaadggadaWgaaWcbaGaamODaaqabaaakiaawIa7aaqaamaa%eeaabaGaamOyamaaBaaaleaacaWG2baabeaaaOGaay5bSdaaaiabg2% da9maalaaabaWaaqGaaeaacaWGHbGaey4kaSIaamOyamaaBaaaleaa% caWG2baabeaakiabgUcaRiaadogacaWG2bWaaWbaaSqabeaacaaIYa% aaaaGccaGLiWoaaeaadaabbaqaaiaadsgacqGHRaWkcaWGLbGaamOD% aaGaay5bSdaaaaaa!4CE5!$$frac{{left. {{a_v}} right|}}{{left| {{b_v}} right.}} = frac{{left. {a + {b_v} + c{v^2}} right|}}{{left| {d + ev} right.}}$$.-
50. Die Methode von Cesàro.-
51. Die Formel von Pincherle.- Literatur.- Verzeichnis der bemerkenswerten Formeln.