Vorwort

Das Gebiet der Optimierung gewinnt aufgrund der zahlreichen Anwendungen in Naturwissenschaften, Wirtschaftwissenschaften und Technik eine immer größere Bedeutung. Entsprechend groß ist der Umfang der dazu entwickelten mathematischen Theorien und Software. Daraus ergibt sich die Notwendigkeit, interessante Teilgebiete der Optimierung in möglichst kompakter Form zu behandeln, dabei aber eine mathematisch fundierte Darstellung anzustreben und die Implementierung von Optimierungsverfahren sowie die Lösung anwendungsrelevanter Probleme ausreichend zu berücksichtigen. Der vorliegende Text behandelt das Teilgebiet der konvexen, nichtglatten Optimierung.

In der konvexen, nichtglatten Optimierung betrachtet man das Problem, ein Minimum einer konvexen Funktion zu berechnen, die nicht überall differenzierbar ist. Auf eine solche Aufgabenstellung führt beispielsweise die Berechnung von Ausgleichsgeraden zu Messdaten, wenn man anstelle der Summe der Fehlerquadrate den maximalen Fehler minimiert. Weitere interessante Anwendungen gibt es im Zusammenhang mit kombinatorischen Optimierungsproblemen, der Optimierung von Stabwerken, bei Optimierungsproblemen mit Gleichgewichtsrestriktionen oder im Zusammenhang mit Scheduling-Problemen.

Da das Ziel der Optimierung die Lösung von Anwendungsproblemen ist, stellen wir Optimierungsverfahren in den Vordergrund, die sich im praktischen Einsatz bewährt haben. Die erforderlichen mathematischen Resultate zur Begründung der Verfahren und für die Konvergenzuntersuchungen sind so aufbereitet, dass nur Grundkenntnisse der Analysis und der linearen Algebra vorausgesetzt werden. Damit ist das Buch für Studierende und Dozenten der Wirtschaftsmathematik, der Mathematik, der Technomathematik, aber auch der Physik, der Wirtschaftswissenschaften und der Ingenieurwissenschaften verständlich. Die behandelten Optimierungsverfahren sind so dargestellt, dass der Leser in der Lage ist, einfache Versionen selbst zu implementieren. Zahlreiche numerische Beispiele demonstrieren die Anwendung der Verfahren.

Nach einer Einführung in das Thema des Buches stellen wir im zweiten und dritten Kapitel die erforderlichen Grundlagen der konvexen Optimierung bereit. Als erstes numerisches Verfahren betrachten wir im vierten Kapitel das Subgradientenverfahren. Zur Konstruktion von Verfahren mit besseren Konvergenzeigenschaften benötigt man approximative Ableitungen konvexer Funktionen, die wir im fünften Kapitel untersuchen. Basierend auf den theoretischen Resultaten dieses Kapitels diskutieren wir im anschließenden sechsten Kapitel die Grundlagen von Bundle-Verfahren am Beispiel eines approximativen Abstiegsverfahrens. Zwei in der Praxis bewährte Verfahren zur Lösung konvexer, nichtglatter Optimierungsprobleme, ein Bundle-Verfahren und ein Bundle-Trust-Region-Verfahren, werden in den beiden letzten Kapiteln behandelt, in denen wir auch noch kurz auf weitere Entwicklungen der hier vorgestellten Verfahren eingehen. Ergänzendes Material zum Buch, beispielsweise eine PDF-Datei mit allen Abbildungen des Buches in Farbe, wird auf der Web-Seite
          www.minet.uni-jena.de/^~alt
des Autors zur Verfügung gestellt.

Das vorliegende Buch entstand aus Vorlesungen, die ich an der Friedrich-Schiller-Universität Jena gehalten habe. Wesentliche Grundlagen für diese Vorlesungen und damit auch für dieses Buch waren die Arbeiten [36], [47], [38], [37] und [39] von Prof. em. Dr. Jochem Zowe, Universität Erlangen-Nürnberg, und Dr. Helga Schramm, Siemens AG München, denen deshalb mein besonderer Dank gebührt. Herrn Prof. Dr. Bernd Luderer, TU Chemnitz, danke ich für seine Anregung und Ermutigung, dieses Buch zu schreiben. Mein Dank gilt auch den Studenten meiner Vorlesungen, die durch Fragen und Anmerkungen zu Verbesserungen des Manuskripts beigetragen haben; besonders erwähnen möchte ich dabei Nils Bräutigam, Dieter Lindig, Patrick Petroschka und Andreas Schröder. Herrn Jürgen Weiß in Leipzig danke ich für die sehr angenehme und konstruktive Zusammenarbeit bei der Vorbereitung und Durchführung des Buchprojekts.